Matemáticas Ley de senos y cosenos

Conceptos previos Introducción

En ocasiones cuando se desea resolver un problema utilizando triángulos, no es posible utilizar el Teorema de Pitágoras o Razones trigonométricas.

Cuando se presentan triángulos oblicuos (observa la imagen), es necesario usar Ley de Senos o Ley de Cosenos.

No olvides que un triángulo oblicuo, puede ser ACUTÁNGULO (con ángulos agudos) u OBTUSÁNGULO (con un ángulo mayor a 90º pero menor a 180º)

Ley de Senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos).
Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Cómo podemos observar en la imagen, cada lado es dividido entre en seno del ángulo opuesto a este mismo lado; consecuentemente obtendremos 3 razones o fracciones que equivalen al mismo cociente. Vamos a ver algunos ejemplos

Ejemplo #1  LEY DE SENOS

Dado dos ángulos y un lado (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

Para obtener el tercer ángulo del triángulo usamos la propiedad que indica que la suma de los 3 ángulos internos de cualquier triángulo equivale a 180º, por tanto:

  C = 180° – A – B 

  C = 180° – 30° – 20 ° 

  C = 130°

Armamos la ley de Senos usando lados y ángulos opuestos

La ley de Senos ahora se convierte en:

Para obtener el tercer lado (lado c), usaremos un procedimiento semejante al del lado b

Al realizar las divisiones, en ocasiones las diferencias son por algunos decimales que bien podemos redondear y dar por verdaderos

Vídeos del tema Ley de Senos

Ley de Cosenos

La ley de los cosenos también es utilizada para conocer los ángulos y lados de triángulos no rectángulos (oblicuos). Es muy parecida al Teorema de Pitágoras, de hecho, el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la Ley de Cosenos

Cuando las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

Ejemplo #1  LEY DE COSENOS

Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual “A” es de 39.4°

¿Qué distancia hay entre los dos edificios?

Ejemplo #2  LEY DE COSENOS

Observa la imagen siguiente y calcula la medida del ángulo y lado faltantes

Ejemplo #3  LEY DE COSENOS

Calcula el valor del ángulo a del siguiente triángulo

PASO #1

Sabemos que se conocen los 3 lados y se desconoce el ángulo a, por tanto, armamos la Ley de cosenos

PASO #2

Ahora resolveremos las potencias, recuerda que 10^2 representa  10 x 10  y no 10 x 2

PASO #3

Realizaremos la suma de los números AZUL Y VERDE, cuidado con el número -175.8, pues este no se puede restar con los números AZUL y VERDE, pues por jerarquía de las operaciones, debe realizar primero la MULTIPLICACIÓN con el Cos a

PASO #4

Ahora procedemos a despejar al ángulo a,  usando operaciones inversas y resolveremos las operaciones resultantes

PASO #5

En seguida pasaremos, al otro lado de la igualdad, el elemento que MULTIPLICA al Cos a, que pasará con su operación inversa, es decir, pasará DIVIDIENDO. En seguida calcularemos el cociente (DIVISIÓN)

PASO #6

Bien, ahora la parte interesante; podríamos decir que el Cos y el ángulo a, están multiplicando, de modo que para separarlos, el COSENO pasará al otro lado de la igualdad como COSENO INVERSO (también llamado arco coseno o secante), de modo que se calculará el COSENO INVERSO del valor que está en ese lado de la igualdad.

Vídeos del tema Ley de Cosenos

Vídeos de reforzamiento

  • https://www.youtube.com/watch?v=e2_WDo5yK_Q
  • https://www.youtube.com/watch?v=nCK3jKq_Iyk
  • https://www.youtube.com/watch?v=5l-elvt30D0
  • https://www.youtube.com/watch?v=65RP6V0hsy4
  • https://www.youtube.com/watch?v=x4sCCs5q8aA
  • https://www.youtube.com/watch?v=cCeJffSwHvc
  • https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8
  • https://www.youtube.com/watch?v=u-3aJWybkKk

Contenido / Edición: Ing. Antonio Cruz Landeros

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